소수의 무게
소수의 무게
素數 · a prime number
이지운 장로
“1, 2, 3, 4, 5, …… 로 늘어선 자연수 중에는 보석 같은 소수들이 숨어 있다. 이들은 자연수를 구성하는 기본 단위인 것과 동시에, 가장 종잡을 수 없는 수이기도 하다. 수학의 초창기부터 지금까지 수많은 사람들이 소수를 찾고 그 특성을 규명하는 데 일생을 바쳐 왔지만, 아직도 베일을 속시원하게 벗기지는 못했다. 소수는 아주 기초적이지만 수학의 가장 어려운 문제를 양산하고 있어서 그 정체가 모호하기 짝이 없다.” 「수학을 낳은 위대한 질문들」(토니 크릴리)
“물리학자들이 우주를 기술하는 방정식을 연구하다 보면 소수가 ‘까꿍’하고 얼굴을 내미는 순간이 있다. 학자들은 ‘도대체 이 녀석이 어디서 튀어나왔을까?’하며 소수의 깜짝 등장에 고개를 갸웃거린다. 이렇듯 사람을 매혹하는 숫자 소수는 우주의 생성과 작동에도 은밀히 참여하는 놀랍고 신비스러운 숫자다” 「소수는 어떻게 사람을 매혹하는가」(다케우치 가오루)
왜 소수일까? 소수는 정말 ‘원자핵에서 우주까지, 세상을 움직이는 숫자’인가? 수학자들은 그렇다고들 입을 모은다. 그렇게 중요한데, 인간은 ‘수퍼컴퓨터’에 ‘양자컴퓨터’까지 갖고도 왜 아직 소수를 정복하지 못하고 있을까? 우주는 수학으로만 설명되고 이해될 뿐인데, 우주의 무한성을 설명하는 도구이다 보니 소수는 무한하고 정복되지 않는 영역인 것인가? 매미의 생존 주기 조차 소수와 관련돼 있다는 대목에서, 창조 섭리 속에 깃든 소수의 영역과 수학의 세계를 막연하게나마 느끼게 한다. 그래서 소수와 수천년 씨름해 온 수학자와 수학계의 이야기를 보노라면, 성경이 감춰 놓은 소수를 떠올리지 않을 수 없게 된다. 성경에 엄청나게 자주 등장하는, 그러나 구속사의 눈으로 들여다보지 않으면 절대 발견할 수 없는 숨겨진 수 ‘17’. 그 수를 따라가면 ‘하나님의 구속 섭리와 승리’를 만나게 해주는 7번째 소수 ‘17’*.
피상적으로, 관련 입문 서적의 기초적인 설명들을 나열했을 뿐이지만, ‘소수의 무게’를 조금이나마 느껴보는 기회가 되길 바란다. 성경에 담긴 17수의 무게감까지도.
<소수는….> ‘수학의 원자(原子), 수의 근본’
‘바탕이 되는 수, 바탕수’이다. 영어로는 ‘prime number’이다. 초등학교(primary school), 지진 발생후 제일 먼저 도달하는 첫 번째 진동이란 의미의 지진파 P(primary wave), 제일 먼저 읽어야 하는 책 입문서(primer) 등의 느낌으로 이해할 수 있다. ‘가장 먼저 존재하는 것, 맨 처음 해야 하는 일’이라는 어감이다. 라틴어의 primus는 ‘제일의’라는 뜻이다. 주요한, 최고 등급의, 전반, 초기라는 뜻도 가지고 있다.
물리학에서 원자(原子·원래의 물리적 특성을 보유한 최소단위로서의 원자)가 더 이상 작은 단위로 분해될 수 없는 것처럼. 소수도 더 작은 인수로 분해될 수 없다. 소수는 수학의 원자로 꼽히는 근본적인 수이며, 아직도 많은 비밀을 간직한 채 수학자들의 애간장을 태우고 있다.
수학의 가장 오래된 분야인 정수론(number theory)의 핵심 교리 중 하나는 모든 정수가 소수의 곱으로 표현된다는 것이다. 즉 소수는 모든 정수의 기본단위인 셈이다. 임의의 정수를 소수의 곱으로 나타내는 방법은 단 하나밖에 없다. 이 유일성은 산술의 근간을 이루는 기본정리이다.
<소수의 성질>
소수는 무한하다. 2300년전 유클리드가 이를 증명했다. 저서 「원론(Element)」에서 “소수의 목록이 아무리 길어도 그보다 더 긴 목록을 만들 수 있다”는 명제가 수학적 논리로 증명되어 있다. 만일 소수의 개수가 유한했다면 수학은 지금보다 훨씬 심심하고 단조로운 학문이 되었을 것이다.
1보다 큰 모든 정수는 소수 또는 소수들의 곱이다. 즉 자연수는 소수들의 고유한 집합이다. 이것이 소수로 하여금 ‘산술(算術)의 원자’가 되게 한다. 화학의 주기율표에 표현된 원소들의 고유한 조합으로 만들어지는 분자와 마찬가지로, 임의의 자연수도 소수들의 고유한 조합으로 만들어진다.
소수는 얼마나 빈번하게 나타날까? 정확한 규칙은 없지만 숫자가 커질수록 뜸하게 나타난다는 것은 분명하다. 1~100 25%, 1~1000 16%, 1~10000 12%이다. 1~10의 23제곱은 1.9%이다.
소수가 등장하는 순서에는 어떤 규칙이 있는가? 소수의 위치를 정확하게 짚어내는 공식은 과연 존재하는가? 이는 소수를 만드는 완벽한 공식은 존재하는가의 문제이다. 수많은 수학자가 여기에 도전장을 던지고 일생을 마쳤다.
<소수의 용도> ‘원자핵에서 우주까지, 세상을 움직이는 숫자’
정수론은 수학의 여러 분야 중 현실세계에 응용할 구석이 전혀 없는 분야로 취급됐다. 그러나 최근 암호학과 컴퓨터 보안에 정수론이 도입되면서 가장 주목받는 분야로 떠올랐다. 유클리드, 메르센, 오일러, 페르마 등 수천년~수백년전 수학자들이 지금 우리 삶에 지대한 영향을 미치고 있는 것이다.
소수의 비밀 무기는, 그것을 곱하는 것은 쉽지만 그 역은 어렵다는 점에 있다. 큰 수를 구성하는 소인수(prime factors)를 찾는 것은 엄청난 양의 컴퓨터의 힘을 필요로 한다. 특정한 큰 수를 소인수 분해하는 어려움은 소수를 수학적 자물쇠로 변하게 한다. 이러한 소수의 특징을 이용해 메시지를 암호화할 수 있다.
이 원리를 이용한 것이 RSA 공개 키 암호시스템(RSA public key cryptosystem)이다. 오늘날 인터넷에서 이뤄지는 거래에서 신용카드 번호를 안전하게 전송할 수 있는 이유는 RSA 암호의 공개 키 덕분이다. 암호로서의 소수가 커질수록 보안성이 높아진다.
<기타 소수에 관한 상식들>
메르센의 소수: 1644년 프랑스의 수도사로 철학자이자 수학자인 마랭 메르센(1588∼1648)은 소수의 형태가 ‘2의 거듭제곱에서 1을 뺀 수’( 2n-1 )로 나타난다고 밝혔다. 예를 들어, 2의 세제곱에서 1을 빼면 소수인 7이다. 이러한 규칙을 갖는 소수들이 현재까지 계속 발견되고 있다. 2015년 9월 17일에 검증된 49번째의 메르센 소수는 (274,207,281 – 1)이다. 알려진 메르센 소수 중 가장 큰 값이며, 자리수는 2,233만 8,618자리이다.
리만가설: 무질서하다고만 여긴 소수의 본질에 의문을 던진 것은 리만가설이다. 너무 복잡한데 무질서한 소수의 분포가 일직선상에 있는 규칙성이 존재할 것이라는 추측이다. 리만이 이를 일부 검증했으나 일반화시키는 증명은 하지 못한 가장 어려운 문제로, 이 리만가설은 수학자들을 좌절에 빠트리고 있다.
매미가 소수를 이용하며 산다
미국 특정지역에는 소수의 해에 태어나는 매미가 있다. 이 매미를 ‘소수 매미’라 하고 ‘주기 매미’로도 부른다. 13년, 17년을 주기로 대량 발생한다. 이 소수 매미에 관해서는 로이드와 다이버스라는 두 학자가 1996년 처음으로 논문을 썼다. 17년마다 대량으로 발생하는 매미를 관찰하다가 17이라는 숫자에 뭔가 특별한 의미가 있지 않을까 생각했다. 13년이나 17년 등 소수의 해마다 대량으로 발생하기는 매미에게 매우 효과적인 생존 전략이라고 한다. 서로 겹치지 않게 출현하여 먹이와 번식 등에서 과다 경쟁과 포식자를 피하는 효과가 있다.
* “17은 성경에 자주 등장하는 숫자입니다. 자신 외에는 다른 수로 나눠지지 않는 독립수, 즉 소수(素數)입니다. 흴 소(素)자로, 말할 수 없이 정결하고, 오염되지 않았으며, 소박하다는 뜻입니다. 소수 이외의 수는 나눠지고 변하는 수입니다. 17은 2,3,5,7,11,13에 이어 7번째 소수입니다. 6번째 소수 13은 은혜를 배신하고 반역하며 하나님을 대적하는 죄를 의미합니다. 자기 방법으로 문제를 해결하려고 애씁니다. 그래서 미국과 유럽인들은 이 수를 꿈에서도 보고 싶어하지 않습니다. 소돔,고모라,아드마,스보임 왕이 엘람 왕을 12년간 섬기다 13년에 배신했고(창 14:4), 예수님은 타락한 사람의 마음에서 13가지(악한 생각 곧 음란과 도적질과 살인과 간음과 탐욕과 악독과 속임과 음탕과 흘기는 눈과 훼방과 교만과 광패)(막 7:21-22)가 나온다고 말씀하셨습니다. 유대인의 적 하만은 1월 13일에 조서를 만들어 127도에 흩어져 살던 유대인들을 12월 13일에 몰살하려 했습니다(에 3:7-15).
반면 7번째 소수인 17은 성경에서 특별한 의미를 가지고 있습니다. 17은 영적으로 완전함을 뜻하는 7과 10이 합쳐진 수입니다. 창세기 5장과 11장에 나오는 아담-아브라함의 20대(代) 족장들의 족보를 보면 족장들이 향수한 나이, 출생 연도와 사망 연도에서 17수를 발견할 수 있습니다. 아무데서나 나타나지 않았고, 집중적으로 나타난 곳이 있습니다. 그 속에서 크고 놀라운 비밀을 깨달아야 합니다.“
<2013.12.18 수요예배 <성도의 최후 승리의 만세의 수 17> <2014.1.2 목요예배 <천천만만 번영하는 만세와 승리의 축복수 17> <참평안 2018.1월호>
참고문헌: 「소수와 리만가설」(배리 메이저, 윌리엄 스타인), 「소수는 어떻게 사람을 매혹하는가」(다케우치 가오루), 「수학을 낳은 위대한 질문들」(토니 크릴리), 「숫자의 비밀」(마리안 프라이베르거,레이첼 토머스), 「수학, 세계사를 만나다」(이광연), 「기묘하고 재미있는 수 이야기, 홀릭」(데릭 니더만), 「소수매미의 수수께끼」’((요시무라 진)
* “소수를 알아가는 건 유한한 인간이 무한한 자연을 이해하기 위한 출발선이다. 기초과학의 시작이다.”(김재호, 과학평론가)